จำนวนจริง (Real Number)

จำนวนจริง (Real Number)

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ 
     1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
     2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

     จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0  จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
     1. จำนวนเต็ม (Integer)
     2. เศษส่วน (Fraction) 
     3. ทศนิยม (Repeating decimal)

จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0   หรือจำนวนอตรรกยะคือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ  1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน 
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ

จำนวนเต็ม คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 51.2, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (0, 1, 2, 3, ...) กับจำนวนลบของจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์ (−1, −2, −3, ...)

จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

จำนวนเต็ม แบ่งเป็น 3 อย่างคือ
1)     จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย     I+ = { 1 , 2 , 3 , … }

2)     จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว

3)     จำนวนเต็มลบ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ

เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I- = { -1 , -2 , -3 , … }

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น 3/4 อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้

อ้างอิง            http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/404-00/

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B9%87%E0%B8%A1

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99
http://www.youtube.com/watch?v=5vpZohsWMc4
http://www.youtube.com/watch?v=DFGxRZ1nEcc

                                                                                         1 กันยายน 2556

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

        ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสาม เหลี่ยมมุมฉากนั้น

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง

 โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ

            ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์[2][3] แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบ คณิตศาสตร์

            ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะ เข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง แสตมป์ และการ์ตูน

อ้างอิง                 http://nk2508.wordpress.com/2012/08/30/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA/

30  สิงหาคม 2556

อัตราส่วนและร้อยละ(Ratio and Percentage)

อัตราส่วนและร้อยละ(Ratio and Percentage)

1. อัตราส่วน (Ratio)  คือ การเปรียบเทียบของสิ่งหนึ่งต่อของอีกสิ่งหนึ่งที่มีหน่วยอย่าง เดียวกัน เช่น  a : b อ่านว่า a ต่อ b  หรือ  a/b

ตัวอย่าง ปรีชาสูง 150 ซม.  นายสุชาติสูง 170 ซม.  ดังนั้นความสูงของ นายปรีชาต่อความสูงของนายสุชาติ คือ 150 ต่อ 170 หรือเขียนเป็น 150 : 170  =  15 :17

2.  อัตราส่วนที่เท่ากัน  คือ อัตราส่วนที่แสดงอัตราเดียวกัน นั่นเอง เช่น 3 : 5  =  6 : 10  =  12 : 20   เป็นต้น

3.  สัดส่วน (Proportion)  คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงการเท่ากันของ  2  อัตราส่วน  เช่น  a : b  =  c : d  อ่านว่า  a  ต่อ b เท่ากับ c ต่อ d 

           

     การแก้ปัญหาโจทย์สัดส่วน

     1. อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์ต้องการอะไร และให้ข้อมูลอะไรมาบ้าง

     2. สมมุติตัวแปร  แทนสิ่งที่ต้องการ

     3. เขียนเป็นสัดส่วน (เปลี่ยนประโยคภาษาไทยให้เป็นประโยคสัญลักษณ์)

     4. หาค่าตัวแปรในสัดส่วน

     5. ตรวจสอบคำตอบ (นำคำตอบที่ได้ไปแทนค่าในโจทย์) เพื่อความไม่ประมาท

          ตัวอย่าง  การผสมปูนใช้ปูนซีเมนต์และทรายผสมกันด้วยอัตราส่วน 2 : 3  ถ้าต้องการปูนฉาบ  25 ถัง จะต้องใช้ปูนซีเมนต์และทรายอย่างละเท่าไร

               วิธีทำ ปูนซีเมนต์และทรายมีอัตราส่วน 2 : 3

                        ปริมาณปูนฉาบทั้งหมด= 2 + 3 = 5

                        ปูนซีเมนต์ต่อปูนฉาบทั้งหมด = 2  ต่อ 5

                        สมมุติให้ ปูนซีเมนต์ จำนวน x  ถัง

                                    (กฎคูณไขว้)

                         ดังนั้น ใช้ปูนซีเมนต์จำนวน  10  ถัง    ใช้ทราย จำนวน  25-10 = 15  ถัง

4. ร้อยละ (percentage)  คือ อัตราส่วนที่มีจำนวนหลัง หรือจำนวนที่สองเป็น 100  เช่น  78 : 100  หมายถึง  ร้อยละ 78   หรือ 78%

อ้างอิง
http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/297-00/
1 กันยายน 2556

การบวก ลบ และคูณ หาร ทศนิยม

การบวก ลบ และคูณ หาร ทศนิยม

ทศนิยม ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นทศนิยม และมี (.) คั่นระหว่างสองส่วนนั้น
การเปรียบเทียบทศนิยม

บนเส้นจำนวน ทศนิยมที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าทศนิยมที่อยู่ทางซ้ายเสมอ  การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นบวกสองจำนวนใดๆให้พิจารณาเลขโดดคู่แรกในตำแหน่งเดียวกันที่ไม่เท่ากันจำนวนที่มีเลขโดดในตำแหน่งนั้นมากกว่าจะเป็นจำนวนที่มากกว่า

     การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นลบสองจำนวนใดๆให้หาค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวน  จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจะเป็นจำนวนที่มากกว่าการเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นบวกและทศนิยมที่เป็นลบเนื่องจากทศนิยมที่เป็นบวกอยู่ทางขวามือของ 0 และทศนิยมที่เป็นลบอยู่ทางซ้ายของ 0 ดังนั้นทศนิยมที่เป็นบวก ย่อมมากกว่าทศนิยมที่เป็นลบ

1. การบวกทศนิยม
    การ บวกทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกัน แล้วบวกตัวเลขที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าผลบวกได้เกิน 9 ให้ทศไปยังหลักข้างหน้าเหมือนการบวกจำนวนนับ
    ตัวอย่าง 42.36 + 23.86 = ?
    วิธีทำ
    คุณสมบัติสลับที่ของการบวก เช่น 5.3 + 4.6 = 4.6 + 5.3 = 9.9
    คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก เช่น
    ( 0.14+0.83)+0.13 = 0.14 + (0.83 + 0.13) = 1.10

การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก                                                                    

                                                       ตัวอย่าง  จงหาผลบวก 10.9 +21.05

           วิธีทำ       10.9 + 21.05 = 10.90 + 21.05

                                                                                         10.90  +
                                                                                         21.05
                                                                                         31.95
                                                                      ดังนั้น 10.9 +21.05 = 31.95
                                                                      ตอบ     ๓๑.๙๕

การบวกทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ   
2. การลบทศนิยม   
    การ ลบทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกัน แล้วลบจำนวนที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้กระจายหลักข้างหน้ามาเหมือนกับจำนวนนับ
    ตัวอย่าง 4.35 - 2.19 = ?
    วิธีทำ
3. โจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม
    ขั้นตอนการทำโจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม มีดังนี้
    1.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่เพิ่มขึ้น ใช้วิธีบวก
    2.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่ลดลง ใช้วิธีลบ
    ตัวอย่าง จ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน 206.5 บาท จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน 150 บาท ให้ธนบัตรใบละ 500 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
    ประโยคสัญลักษณ์ 500 - (206.5 + 150 ) = ?
    วิธีทำ
    จ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน 206.50 บาท
    จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน 150.00 บาท
    จ่ายเงินค่าสมุดและดินสอเป็นเงิน 356.50 บาท
    ให้ธนบัตรใบละ 500.00 บาท
    จ่ายค่าหนังสือและสมุด 356.50 บาท
    จะได้รับเงินทอน 143.50 บาท

การบวกทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนลบ

               ตัวอย่าง   จงหาผลบวก (-0.37) + (-1.4)

                                              วิธีทำ          (-0.37) + (-1.4) = (-0.37) + (-1.40)

                                                                                            -0.37  +
                                                                                            -1.40
                                                                                            -1.77
                                                      ดังนั้น (-0.37) + (-1.4) = -1.77
                                                                         ตอบ     -๑.๗๗

  
การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ
 ตัวอย่าง    จงหาผลคูณ (-1.08) x (-2.7)
                                                                          วิธีทำ                    108  x
                                                                                                        27
                                                                                                      756  +
                                                                                                    216
                                                                                                    2916
                                                                  ดังนั้น (-1.08) x (-2.7) = 2.916

                                                                           ตอบ     ๒.๙๑๖

การคูณทศนิยม

                                                               ตัวอย่าง   จงหาผลคูณ 30.2 x (-6.81)
                                                                   วิธีทำ                 302  x
                                                                                             681
                                                                                             302  +
                                                                                        2416  +
                                                                                      1812
                                                                                      205662
                                                  ดังนั้น 30.2 x (-6.81) = -205.662
                                                                    ตอบ     -๒o๕.๖๖๒

การคูณทศนิยม

  

 การคูณทศนิยมที่ใช้สมบัติการแจกแจง

  ตัวอย่าง  จงหาผลลัพธ์      [(-6.3) x 17.45] + [(-6.3) x (-16.45)]
 วิธีทำ   [(-6.3) x 17.45] + [(-6.3) x (-16.45)]  =(-6.3) x [17.45 + (-16.45)]    
                                                                       =       (-6.3) x 1
                                                                       =       -6.3
                                             ตอบ    -๖.๓       


5. โจทย์การปัญหาการคูณทศนิยม  มีหลักดังนี้
    ขั้นตอนการทำโจทย์การปัญหาการคูณทศนิยม
    1.) อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์กำหนดสิ่งใดให้ และต้องการทราบอะไร
    2.) พิจารณาวิธีหาคำตอบโดยถ้าโจทย์กำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกว่าเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าจะใช้วิธีการคูณ
    ตัวอย่าง ซื้อผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหล ราคาผืนละ 5.25 บาท ให้ธนบัตรใบละ100 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
    ประโยคสัญลักษณ์ 100 - (5.25x6) = ?
    วิธีทำ ซื้อผ้าเช็ดหน้าราคาผืนละ 5.25 บาท
    ผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหลเท่ากับ 6 ผืน
    จ่ายเงินค่าผ้าเช็ดหน้า 6x5.25 = 31.50 บาท
    ให้ธนบัตร 100 บาท
    จะได้รับเงินทอน 100 - 31.50 = 63.50 บาท
เครดิต tutormaths

อ้างอิง http://krukhit.blogspot.com/2010/11/blog-post_06.html

31 สิงหาคม 2556

พีระมิด

พีระมิด (Pyramid) คือทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบ

เดียวกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

นิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐาน

สี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่า เป็นต้น

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะคือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง

พีระมิดตรง หมายถึงพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น

จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยม

ที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากันมีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน

สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

พื้นที่ผิวของพีระมิด (Surface area of pyramid)

พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และพื้นที่ผิวข้าง

ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

อ้างอิง  

www.mrtomservice.com/Formula/สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตร.pdf‎
31 สิงหาคม  2535

จำนวนเฉพาะ หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number)

"จำนวนเฉพาะ" หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

        

  ตัวอย่างจำนวนเฉพาะ มีดังนี้

 จํานวนเฉพาะ 1-100 มีทั้งหมด 25 ตัว ดังนี้

      2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

จํานวนเฉพาะ 1-200 มีทั้งหมด 46 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 และ 199

จํานวนเฉพาะ 1-1000  มีทั้งหมด 176 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 403, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 481, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 533, 541, 547, 559, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 611, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673,  677, 683, 689, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 767, 769, 773, 787, 793, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 871, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 923, 929, 937, 941, 947, 949, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

         

สำหรับวิธีตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ สามารถทำได้ ดังนี้

          สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป  มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

              - สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

              - จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

              - ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

              - นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

              - โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

              - สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n

อ้างอิง

http://education.kapook.com/view63401.html  20 สิงหาคม 2556

http://www.tlcthai.com/education/knowledge-online/15509.html  20 สิงหาคม 2556

จำนวนนับ

จำนวนนับ คือ  จำนวนที่นับสิ่งของต่างๆ  

ซึ่งแบ่งออกเป็น  2  ประเภทคือ

จำนวนคู่  คือ  จำนวนที่หารด้วย  2  ลงตัว

จำนวนคี่  คือ  จำนวนที่หารด้วย  2  ไม่ลงตัว  เช่น  1,  3,  5,.....

สมบัติของจํานวนนับ

1. ตัวประกอบ คือ จำนวนนับซึ่งหารจำนวนนับใดๆ ได้ลงตัว
2. จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีเฉพาะ 1 และจำนวนนั้นหารลงตัว จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-100มี 25 ตัว คือ  2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
3. ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ
4. ตัวประกอบร่วม คือ จำนวนนับซึ่งสามารถหารจำนวนนับใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวน ขึ้นไปได้ลงตัว
5. ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) คือ ตัวประกอบร่วม ซึ่งมีค่ามากที่สุดของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวน เช่น ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 คือ 10
6.พหุคูณ คือ จำนวนนับซึ่งมีค่าเป็นจำนวนเท่าของจำนวนนับใดๆ เช่น 100 เป็นพหุคูณของ 5
7.พหุคูณร่วม คือ พหุคูณของจำนวนนับใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป เช่น 100 เป็นพหุคูณร่วมของ 5 และ 10
8. ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) คือ พหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับใดๆ
ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป เช่น ค.ร.น. ของ 15 , 30 และ 60 คือ 60
9. ถ้าจำนวนที่ต้องการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไม่มีตัวประกอบร่วม ห.ร.ม. = 1

 ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนเหล่านั้นทั้งหมด
10. ในกรณีจำนวนนับสองจำนวน  ผลคูณของจำนวน2จำนวนนั้น = ห.ร.ม. คูณ ค.ร.น


อ้างอิง http://guru.google.co.th/guru/thread?tid=0080bae78d172312
          16 สิงหาคม 2553